Question

证明题 求解，急！！！ 感谢大家的帮助！

Answer 1

第1,2题借助积分的几何意义：
1，在积分区间内，0<=sinx<=1，1<=e^(sinx)<=e
所以∫1dx<=∫e^(sinx)dx<=∫edx
2，在积分区间内，-1/4<=x^2-x<=2，e^(-1/4)<=e^(x^2-x)<=e^2
所以∫e^(-1/4)dx<=∫e^(sinx)dx<=∫e^2dx
3，令t=1+1/x，t>1

f(t)=lnt-(t-1)/t=lnt+1/t-1
f'(t)=1/t-1/t^2=(t-1)/t^2>0 f(t)单调递增
f(t)>f(1)=0
所以lnt>(t-1)/t，x代回得到原命题
4，令g(x)=f(x)/x
g'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x^2

令h(x)=xf'(x)-f(x)
h'(x)=f'(x)+xf''(x)-f'(x)=xf''(x)>=0，说明h(x)单调递增
h(x)>=h(0)=-f(0)=0，说明g'(x)>=0，g(x)单调递增