Question

映射证明题

设映射f:X--Y,A包含于X,B包含于X,证明： (1)f(AUB)=f(A)Uf(B) (2)f(AnB)=f(A)nf(B)

Answer 1

1）
y∈f(AUB)
当且仅当：
x∈AUB
当且仅当：x∈A
或
x∈B
当且仅当：y=f(x)∈f(A)
或
y=f(x)∈f(B)
当且仅当：y∈f(A)Uf(B)
所以：f(AUB)=f(A)Uf(B)
2)
此命题错误。【等于】应该为【包含于】。
y∈f(AnB)
则：存在
x∈AnB
即：
x∈A
且
x∈B
有：y=f（x)
故：y=f(x)∈f(A)且
y=f(x)∈f(B)
从而y∈f(A)nf(B)
f(A)nf(B)
包含
f(AnB)
注意：f(A)nf(B)
不包含于
f(AnB)
；
例：A={-1，0}
B={0，1}
f=|x|
此命题2）等号是当映射为逆映射f^(-1)时成立。