Question

求secθ³的不定积分(请写过程)

Answer 1

∫
sec³xdx
=∫
secxd(tanx)
=secxtanx-∫
tan²xsecxdx
=secxtanx-∫
(sec²x-1)secxdx
=secxtanx-∫
sec³xdx+∫secxdx
=secxtanx-∫
sec³xdx+ln|secx+tanx|
将-∫
sec³xdx移动等式左边与左边合并，除去系数(别忘记要留常数C在右边)
∫
sec³xdx=(1/2)secxtanx+(1/2)ln|secx+tanx|+C
参考:
∫
sec³x
dx
=
∫
secx*sec²x
dx
=
∫
secx
dtanx，分部积分法，sec²x的积分是tanx
=
secx*tanx
-
∫
tanx
dsecx，分部积分法
=
secx*tanx
-
∫
tanx*(secx*tanx)
dx，secx的导数是secx*tanx
=
secx*tanx
-
∫
secx(sec²x-1)
dx，恒等式1+tan²x
=
sec²x
=
secx*tanx
-
∫
sec³x
dx
+
∫
secx
dx，将∫sec³x
dx移到等号左边，变为2个∫
sec³x
dx
2∫sec³x
dx
=
secx*tanx
+
∫
secx*(secx+tanx)/(secx+tanx)
dx，上下分别乘以secx+tanx
∫
sec³x
dx
=
(1/2)secx*tanx
+
(1/2)∫
(secx*tanx+sec²x)/(secx+tanx)
dx
=
(1/2)secx*tanx
+
(1/2)∫
d(secx+tanx)/(secx+tanx)，等同公式∫
1/u
du，u=secx+tanx
∴∫
sec³x
dx
=
(1/2)secx*tanx
+
(1/2)ln|secx+tanx|
+
C
递推公式:
∫
(secx)^n
dx
=
[sinx*(secx)^(n-1)]/(n-1)
+
(n-2)/(n-1)*∫
(secx)^(n-2)
dx