Question

高数问题

双曲抛物面z=xy被柱面x^2+y^2=1(x>=0,y>=0)截下部分的面积

Answer 1

D={(x,y):x^2+y^2<=1,x>=0,y>=0}，
z=xy，az/ax=y，az/ay=x，
于是面积=二重积分_D 根号(1+(az/ax)^2+(az/ay)^2) dxdy
=二重积分_D 根号(1+x^2+y^2) dxdy
极坐标变换，x=rcosa，y=rsina，0<=a<=pi/2，0<=r<=1，
=积分（从0到pi/2）da 积分（从0到1）根号(1+r^2)rdr
=pi/2* 1/3*(1+r^2)^(3/2)|上限1下限0
=（2根号(2)--1)*pi/6。