Question

已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).(Ⅰ)当a=14时，求函数f(x)的单...

已知函数f(x)=ax2+ln(x+1). (Ⅰ)当a=14时，求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)当x∈[0，+∞)时，不等式f(x)≤x恒成立，求实数a的取值范围; (Ⅲ)求证:(1+22×3)×(1+43×5)×(1+85×9)…(1+2n(2n-1+1)(2n+1))＜e(其中，n∈N*，e是自然对数的底数)

Answer 1

解答:解:(Ⅰ)当a=
1
4
时，f(x)=
1
4
x2+ln(x+1)(x＞-1)，
f′(x)=
1
2
x+
1
x+1
=
x2+x+2
2(x+1)
(x＞-1)，
∵x＞-1，x2+x+2=(x+
1
2
)2+
7
4
＞0，
∴f′(x)＞0，
∴函数f(x)的单调递增区间为(-1，+∞).
(Ⅱ)∵当x∈[0，+∞)时，不等式f(x)≤x恒成立，即ax2+ln(x+1)-x≤0恒成立，
设g(x)=ax2+ln(x+1)-x(x≥0)，只需g(x)max≤0即可.
由g′(x)=2ax+
1
x+1
-1=
x[2ax+(2a-1)]
x+1
，
(ⅰ)当a=0时，
g′(x)=-
x
x+1
(x＞-1)，
当x＞0时，g′(x)＜0，函数g(x)在(0，+∞)上单调递减，故g(x)≤g(0)=0成立.
(ⅱ)当a＞0时，
由g′(x)=
x[2ax+(2a-1)]
x+1
=0，
∵x∈[0，+∞)，
∴x=
1
2a
-1，
①若
1
2a
-1＜0，即a＞
1
2
时，在区间(0，+∞)上，g′(x)＞0，则函数g(x)在(0，+∞)上单调递增，
g(x)在[0，+∞)上无最大值(或:当x→+∞时，g(x)→+∞)，此时不满足条件;
②若
1
2a
-1≥0，即0＜a≤
1
2
时，函数g(x)在(0，
1
2a
-1)上单调递减，在区间(
1
2a
-1，+∞)上单调递增，同样g(x)在[0，+∞)上无最大值，不满足条件.
(ⅲ)当a＜0时，g′(x)=
x[2ax+(2a-1)]
x+1
，
∵x∈[0，+∞)，
∴2ax+(2a-1)＜0，
∴g′(x)＜0，故函数g(x)在[0，+∞)上单调递减，故g(x)≤g(0)=0成立.
综上所述，实数a的取值范围是(-∞，0].
(Ⅲ)证明:据(Ⅱ)知当a=0时，ln(x+1)≤x在[0，+∞)上恒成立，
又
2n
(2n-1+1)(2n+1)
=2(
1
2n-1+1
-
1
2n+1
)，
∵ln{(1+
2
2×3
)•(1+
4
3×5
)•(1+
8
5×9
)…[1+
2n
(2n-1+1)(2n+1)
]}
=ln(1+
2
2×3
)+ln(1+
4
3×5
)+ln(1+
8
5×9
)+…+ln[1+
2n
(2n-1+1)(2n+1)
]
＜
2
2×3
+
4
3×5
+
8
5×9
+…+
2n
(2n-1+1)(2n+1)
=2[(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+(
1
5
-
1
9
)+…+(
1
2n-1+1
-
1
2n+1
)]
=2(
1
2
-
1
2n+1
)＜1，
∵ln{(1+
2
2×3
)•(1+
4
3×5
)•(1+
8
5×9
)…[1+
2n
(2n-1+1)(2n+1)
]}
=ln(1+
2
2×3
)+ln(1+
4
3×5
)+ln(1+
8
5×9
)+…+ln(1+
2n
(2n-1+1)(2n+1)
)
＜
2
2×3
+
4
3×5
+
8
5×9
+…+
2n
(2n-1+1)(2n+1)
=2[(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+(
1
5
-
1
9
)+…+(
1
2n-1+1
-
1
2n+1
)]
=2(
1
2
-
1
2n+1
)＜1，
∴(1+
2
2×3
)•(1+
4
3×5
)•(1+
8
5×9
)•…•[1+
2n
(2n-1+1)(2n+1)
]＜e.