Question

求定积分∫cosαθ（cosθ）^αdθ=？·····θ=0到π，α＞-1

提示1：基本上原函数积不出来，不要太往那方面想了；
提示2：这是数学物理方法中复变函数考试卷子的最后一道题······
提示3：讲深点没事·····偶听得懂·····
错了·······是0到π/2············

Answer 1

说一说思路，具体的你自己动手做吧。
先证明一个引理：f(z)在D: θ1<=arg(z--a)<=θ2，0<|z--a|<r上连续，且
当z在D上趋于a时有 lim (z--a)f(z)=A，则
r趋于0时，有lim ∫ f(z)dz=iA(θ2--θ1)，其中i是虚数单位，积分在圆弧
L：|z|=r，θ1<=arg(z--a)<=θ2上进行。
本题，考虑f(z)=z^α【(z+1/z)/2】^α /z=(z^2+1)^α/(2^αz)，
当α>=0时，取积分路径L由四条路径组成L1: |z|=1，0<=argz<=pi/2，
L2: z=iy，y从1到e；L3：|z|=e，argz<从pi/2到0，
L4：z=x，x从e到1；在L所围趋于上f(z)解析，
于是有∫_L1+∫_L2+∫_L3+∫_L4=0，
∫_L1=∫_0^(pi/2) (cosαθ+isinαθ)（cosθ）^α*i*dθ，，其虚部的积分是所求积分。
在L2和L4的积分相加，令e趋于0是瑕积分，极限存在，是实数。
在L3的积分用引理可知当e趋于0时，极限是--i*pi/2^(α+1)，
比较实部和虚部可知所求积分是pi/2^(α+1)。
当α<0时，i是f(z)的奇点，类似上面做法，以
i为心做小圆弧，取极限可知极限是0，因此对积分无影响。
最后得∫cosαθ（cosθ）^αdθ==pi/2^(α+1)，α＞-1时。

追问

f(iy)dz=(1-y^2)^α//(2^αy)dy，f(x)dz=(1+x^2)^α/(2^αx)dx，
这两个分别从e积到1貌似不等吧····相减会抵消吗····貌似不会吧~~~？？？
就是L2和L4那里····其实这些我也想到了就是那里搞不出来等于啥····结果没写上去····（我的15分T-T）。

追答

没说相等，两个加一起后是一个瑕积分，瑕积分收敛，是实数，具体等于什么不需要知道，
等式中我们要的是虚部，虚部等于0得到结果。
ps:实部是什么值我也不知道。算不出来。