Question

如图，AB是⊙o的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB于E,BD交CE于点F.（1）求证：CF=BF

如图，AB是⊙o的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB于E,BD交CE于点F.（1）求证：CF=BF;（2）若CD=6，AC=8,求⊙o的半径和CE的长.

Answer 1

⑴因为c是bd的中点，再根据相等的弧对应的圆周角相等可以得出：
∠cab=∠dbc
①
又∵直径对应的圆周角为90°
∴∠acb=90°
∴∠cab+∠cba=90
②
∵ce⊥ab
∴∠bce+∠cba=90
③
∴由②③可知∠cab=∠bce
④
由①④可知∠bce
=∠dbc
即三角形bcf为等腰三角形
两腰相等cf=bf
⑵oc垂直平分bd于g
o,g分别为ab，bd的中点，所以og=½ad=1
oc=r=3
∴cg=2
bd=√ab²-ad²=4√2
bg=2√2
勾股定理：bc=√bg²+cg²=2√3