Question

已知数列an满足递推关系a（n+1）=2an^2+3an+m/（an+1），a1=1

(1)当m=1时，求证数列{an+1}为等比数列
（2）当m在什么范围内取值时，能使数列{an}满足不等式an+1≥an恒成立？
（3）当-3≤m<1时，证明：1/(a1+1)+1/(a2+1)+...+1/(an+1)≥1-1/2^n

Answer 1

(1)m=1时，
a(n+1)=2an+1
a(n+1)+1=2(an+1)
所以{an+1}为首项a1+1=2,公比为2的等比数列
(2)设an=x,x≥1
令(2x^2+3x+m)/(x+1)≥x
即x^2+2x+m≥0在x∈[1,+∞)恒成立
又f(x)=x^2+2x+m=(x+1)^2+m-1在[1,+∞)上单调递增
所以f(1)≥0
解得m≥-3
(3)证明：a(n+1)+1=(2an^2+4an+m+1)/(an+1)=2(an+1)+(m-1)/(an+1)<2(an+1)
即1/(a(n+1)+1)>1/2*1/(an+1)
1/(an+1)>1/2*1/(a(n-1)+1)
……
1/(a2+1)>1/2*1/(a1+1)=1/2
所以1/(a2+1)>1/2
1/(a3+1)>1/4
……
1/(an+1)>1/2^(n-1)
所以1/(a1+1)+1/(a2+1)+...+1/(an+1)≥1/2+1/4+…+1/2^(n-1)=1-1/2^n

追问

好像有一点小错误啊。。。