Question

设a∈R，函数f（x）=ax3-3x2．（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点...

设a∈R，函数f（x）=ax3-3x2． （1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求实数a的值； （2）若函数g（x）=exf（x）在[0，2]上是单调减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2-6x=3x（ax-2）．
因为x=2是函数y=f（x）的极值点，所以f'（2）=0，即6（2a-2）=0，
所以a=1．经检验，当a=1时，x=2是函数y=f（x）的极值点．
即a=1．（6分）
（Ⅱ）由题设，g′（x）=ex（ax3-3x2+3ax2-6x），又ex＞0，
所以，∀x∈（0，2]，ax3-3x2+3ax2-6x≤0，
这等价于，不等式a≤
3x2+6x
x3+3x2
=
3x+6
x2+3x
对x∈（0，2]恒成立．
令h(x)=
3x+6
x2+3x
（x∈（0，2]），
则h′(x)=-
3(x2+4x+6)
(x2+3x)2
=-
3[(x+2)2+2]
(x2+3x)2
＜0，
所以h（x）在区间（0，2]上是减函数，
所以h（x）的最小值为h(2)=
6
5
．
所以a≤
6
5
．即实数a的取值范围为(-∞，
6
5
]．（13分）