Question

跪求高数大佬，一道极限题

解题过程中圈起来的部分应该是用了诱导公式，那么n应该是整数，但如此一来在第二步三角函数的括号里不就是npi了吗？直接等于0了。一直没搞懂，还请大佬指点

Answer 1

详情如图所示

有任何疑惑，欢迎追问

追问

你看我这么做哪里不对啊，我知道错的，但看不出来哪里不对，红线部分趋紧1，然后前面sinnpi因为n为整数，所以直接为0，答案不就是0吗？

追答

右边趋于1，左边趋于无穷
极限是一起的，不能一部分
固定，另一部分不变

追问

哦哦，我懂了，谢谢啦

Answer 2

为什么等于npi，明显不等于啊，和npi之间还是相差一个无穷小啊
按照你说法，n * 1/n，因为1/n逼近于0，所以等于n*0=0?

追问

那啥，我的意思是为什么能用诱导公式，用公式的前提不应该是n是整数吗？就如公式+_sinx=sin(kpi+x)

没搞懂，还请赐教

如果n是整数，那就不用诱导公式了，不就直接是limsin(npi根号下1+1/n)=sin(∞•1)嘛

就是limsin(npi)=0吗

追答

关键是那个1/n是不可忽略的，不是和你说了吗，无穷大*无穷小型的极限不能直接把无穷小部分先当作0，然后直接得出极限是0的结论。你这里是典型的 n * 1/n型的式子，你怎么能忽略那个1/n

追问

哦哦，好的谢谢，我懂了