Question

证明级数，求过程，详细。

（1）、若级数∑（n=1→∞）（Un^2）与∑（n=1→∞）（Vn^2）都收敛，则正项级数
∑（n=1→∞）│UnVn│,∑（n=1→∞）（Un+Vn）^2及∑（n=1→∞）│Un│／n也收敛。

（2）、已知正项级数∑（n=1→∞）（Un）与∑（n=1→∞）（Vn）都发散，试问正项级数∑（n=1→∞）max{Un,Vn}和∑（n=1→∞）min{Un,Vn}是否也发散，说明理由。

（3）、求幂级数∑（n=1→∞）n^2·x^n／n! 的和函数，并利用它求常数项级数∑（n=1→∞）n^2／n!的和。
原图

Answer 1

(1）Un²+Vn²≥2|UnVn|
2(Un²+Vn²)≥(Un²+Vn²)
Un²+1/n²>=2|Un|/n
左边都收敛由比较知
右边也都收敛
（2）显然max≥Un由比较法则
∑max必发散
min不一定
（3）利用泰勒公式e^x=1+x/1!+x²/2!+x³/3!+……+x^n/n!+……
n^2*x*n/n!=n*x^n/(n-1)!=x^n(1/(n-2)!+1/(n-1)! =x²x^(n-2)/(n-2)!+x*x^(n-1)/(n-1)!

追问

详细点啦。。

Answer 2

（1）简单说下思路，第一第二个用不等式|uv|<=u^2+v^2，很容易证明出来，而第三个由于u^2收敛，1/n发散得|u|<1/n(1/2)（这里用反证法证明一下更加严密），代入，显然收敛。
（2）max是发散的，因为它同时大于原来的两个级数，又是正项级数，所以发散，min就不一定了，如奇次项u(n)=1，偶次项为1/n^2，v的话正好相反，这时min(u,v)就收敛。
（3）通过n^2=n(n+1)-n将原级数拆成两项，再用微分积分将其转换成公式中的级数，后面很简单的，就不详细讲了。希望能够帮到你

追问

敢不敢详细点？