Question

在平面直角坐标系中，点p从原点出发，沿x轴向右以每秒2个单位长的速度运动 t(t>0)秒，抛物线y=-x^2+bx+c

在平面直角坐标系中，点p从原点出发，沿x轴向右以每秒2个单位长的速度运动
t(t>0)秒，抛物线y=-x^2+bx+c经过原点o和点p，顶点为M，矩形ABCD的一边CD在x轴上，点C与原点重合，CD=4，BC=9在点p运动的同时，矩形ABCD沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动。
（1） 求出抛物线的解析式（用含t的代数式）
（2） 若（1）中的抛物线经过矩形ABCD（含边界）时，求出t的取值范围；
（3） 当t=4秒时，过线段Mp上一动点F作y轴的平行线交抛物线与E,求线段EF的最大

Answer 1

（1）从开始到 t 秒，
点 P 从原点运动到 (2t，0)
对于抛物线，此时它经过点 O(0，0) 和 P(2t，0)
所以 0=c，0=-(2t)²+b×2t+c
解得 b=2t，c=0
所以抛物线的解析式为
y=-x²+2tx；
（2）由（1），可知
y=-x²+2tx
=-(x-t)²+t²
矩形的范围为
0≤y≤9，t≤x≤t+4
即 0≤y≤9，0≤x-t≤4
将此范围的四个临界点分别代入 y=-(x-t)²+t²
可求得 t 的范围为 0≤t≤5
即 0 至 5 秒期间，抛物线穿过矩形；
（3）在 t=4 秒时，
P(8，0)
抛物线 y=-(x-4)²+16
则点 M(4，16)，线段 MP 所在直线为 y=-4x+32
所以设点 F(a，32-4a)，其中 a∈[4，8]
则点 E 的横坐标为 a，纵坐标为 -(a-4)²+16=8a-a²
线段 EF 的长度为
EF=|(8a-a²)-(32-4a)|
=|-a²+12a-32|
=|-(a-6)²+4|，4≤a≤8
所以，a=6 时，EF 取得最大值，最大值为 4 。

Answer 2

不知道