Question

数学数列问题

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+(-1)^n,(n>=1)，求数列{an}的通项公式。麻烦各位数学好的帮帮忙，谢谢

Answer 1

设bn=an+a(n+1);Zn=b1+b2+b3.....+bn;
则Zn=Sn+S(n+1)-a1;∵S1=a1∴a1=1;那么Zn=Sn+S(n+1)-1;
Zn=2(an+a(n+1))+(-1)^n+(-1)^(n+1)-1;
Zn=2(an+a(n+1))-1,得到：Zn=2bn-1,以及：Z(n-1)=2b(n-1)-1;
Zn-Z(n-1)=bn=2[bn-b(n-1)],得到：bn/b(n-1)=2;
∴bn为等比数列，公比为2
∵S2=a1+a2=2a2+1,而a1=1,∴a2=0,b1=a1+a2=1
得到通项：bn=2^(n-1).
∴an+a(n+1)=2^(n-1)..........式子（1）
∵S(n+1)-Sn=a(n+1)=2a(n+1)+(-1)^(n+1)-(-1)^n
∴a(n+1)-2an=2(-1)^n..........式子（2）
最后：式子（1）-式子（2）：
3an=2^(n-1)-2(-1)^n
这样an的通项式为：
an=[2^(n-1)-2(-1)^n]/3