Question

(2014•太原二模)定义在R上的函数f(x)满足:f(-x)+f(x)=x2，...

(2014•太原二模)定义在R上的函数f(x)满足:f(-x)+f(x)=x2，当x＜0时，f′(x)＜x，则不等式f(x)+12≥f(1-x)+x的解集为(-∞，12](-∞，12].

Answer 1

解答:解:∵定义在R上的函数f(x)满足:f(-x)+f(x)=x2，
两边对x求导，得-f′(-x)+f′(x)=2x，
∴f′(x)=f′(-x)+2x，
令x＞0，则-x＜0，
∵当x＜0时，f′(x)＜x，
∴f′(-x)＜-x，
∴f′(x)＜2x-x，即f′(x)＜x，
又f(0)=0，直线y=x过原点，
∴f′(0)≤0，
∴x∈R，都有f′(x)＜x，
令F(x)=f(x)+
1
2
-f(1-x)-x，则
F′(x)=f′(x)+f′(1-x)-1＜x+1-x-1=0，
即F(x)是R上的单调减函数，且F(
1
2
)=0，
∴不等式f(x)+
1
2
≥f(1-x)+x，
即F(x)≥0，即F(x)≥F(
1
2
)，
∴x≤
1
2
.
∴原不等式的解集为(-∞，
1
2
].
故答案为:(-∞，
1
2
].