Question

设f(x)是定义R上的函数,对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)+f(y),

1.求f(0)的值 2.求证f(x)为奇函数 3.若函数f(x)是R上的增函数，已知f(1)=1且f(2a)>f(a-1)+2,求a的取值范围 请给详细点的过程，谢谢

Answer 1

f(x)是定义R上的函数,对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)+f(y)
1.求f(0)的值
f(x+y)=f(x)+f(y)
让x=0，y=0;
有f(x+y)=f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
2.求证f(x)为奇函数
f(x+y)=f(x)+f(y)
让y=-x
则:f(x-x)=f(x)+f(-x)=
f(0)=0
所以f(-x)=-f(x)
，f(x)为奇函数
3.若函数f(x)是R上的增函数，已知f(1)=1且f(2a)>f(a-1)+2,求a的取值范围
因f(1)=1
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2
所以f(2a)>f(a-1)+2=f(a-1)+f(2)=f(a-1+2)=f(a+1)
f(x)是R上的增函数
所以要f(2a)>f(a+1)
只需2a>a+1
所以a>1