Question

f(x)=x^4+bx^3+cx^2+dx+e

已知函数f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e为偶函数,它的图象过点A（0,-1）
且在x=1处切线为2x+y-2=0.
(1)求函数f(x)的解析式
(2)求y=f(x)的最大值及相应的x值

Answer 1

首先,函数f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e为偶函数,
也就是说f(-x)=f(x),带入函数化简,有 bx^3+dx=0 （1）
因为不论x不论为何值,等式恒成立,故当且仅当b=d=0时（1）式恒成立.
图像过点A（0,-1） 则有 f(0)=e=-1 （2）
所以,函数f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=ax^4+cx^2-1
在x=1处切线为2x+y-2=0.也就是图像过点（1,0）,故a+c-1=0,
当x=1时函数f(x)导数=4a+2c=切线的斜率=-2.
由a+c-1=0,4a+2c=-2 ,我们可以算出a=-2,c=3.
（1）由上可得,函数f(x)=-2x^4+3x^2-1
函数f(x)=-2（x^4+1.5x^2-9/16）+1/8
(2)故函数的当x=+-√3/2时函数取最大值,且最大值为1/8