Question

证明√n+1-√n＜√n-√n+1

Answer 1

要证：√（n+1）-√n＜√n-√（n-1）
只需要证：√（n+1）＜2√n-√（n-1）
即证：n+1＜4n+n-1-4√（n²-n）
即证：2n-1＞2√（n²-n）
（上一步
移项
整理就可以得到了)
即证：4n²-4n+1＞4n²-4n
（因为2n-1＞0，所以可以平方）
即1＞0，
显然成立，所以原不等式√n+1-√n＜√n-√n+1成立。

Answer 2

令f(n)=√n+1-√n=1/(√n+1+√n)
可见这个函数在n≥0时是单减函数
因此有√n+1-√n＜√n-√n+1