高中数学 用导数来求最值或单调区间,需要讨论的典型例题和详细答案
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已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(xR),其中aR.
当a≠2/3时,求函数f(x)的单调区间与极值.
解:(1)当a=0时,f(x)=x2ex,f'
(x)=(x2+2x)
ex,故f'
(1)=e.
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为e.
(2)f'
(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]
ex,
令f'
(x)=0,解得x=-2a,或x=a-2.由a≠23知,-2a≠a-2.
以下分两种情况讨论:
①若a>23,则-2a<a-2.当x变化时,f'
(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-2a)
-2a
(-2a,a-2)
a-2
(a-2,+∞)
f'
(x)
+
0
—
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
函数f(x)在x=-2a处取得极大值f
(-2a)=3ae-2a;
在x=a-2处取得极小值f
(a-2)=(4-3a)e
a-2;
②若a<23,则-2a>a-2.当x变化时,f'
(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,a-2)
a-2
(a-2,-2a)
-2a
(-2a,+∞)
f'
(x)
+
0
—
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a)=3ae-2a;
在x=a-2处取得极大值f(a-2)=(4-3a)e
a-2.
当a≠2/3时,求函数f(x)的单调区间与极值.
解:(1)当a=0时,f(x)=x2ex,f'
(x)=(x2+2x)
ex,故f'
(1)=e.
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为e.
(2)f'
(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]
ex,
令f'
(x)=0,解得x=-2a,或x=a-2.由a≠23知,-2a≠a-2.
以下分两种情况讨论:
①若a>23,则-2a<a-2.当x变化时,f'
(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-2a)
-2a
(-2a,a-2)
a-2
(a-2,+∞)
f'
(x)
+
0
—
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
函数f(x)在x=-2a处取得极大值f
(-2a)=3ae-2a;
在x=a-2处取得极小值f
(a-2)=(4-3a)e
a-2;
②若a<23,则-2a>a-2.当x变化时,f'
(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,a-2)
a-2
(a-2,-2a)
-2a
(-2a,+∞)
f'
(x)
+
0
—
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a)=3ae-2a;
在x=a-2处取得极大值f(a-2)=(4-3a)e
a-2.
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