Question

已知,.讨论函数的单调性;若方程在区间上有两个不等解,求的取值范围.

已知,. 讨论函数的单调性; 若方程在区间上有两个不等解,求的取值范围.

Answer 1

先确定函数的定义域然后求导数,在函数的定义域内解不等式和,求出单调区间.
方程在区间上有两个不等解等价于在上有两个不等解,令,利用导数研究其单调性,从而得出它的最小值,即可得到的取值范围.
解:
所以
所以当时,函数在上是减函数,在上是增函数,
时,函数在上是减函数.
方程在区间上有两个不等解,
等价于在上有两个不等解
令
则
故函数在上是增函数,在上是减函数.
所以
又因为
故
所以.
即的取值范围:.
本小题主要考查函数的导数,单调性,函数的零点与方程根的关系等基础知识,考查综合利用数学知识分析问题,解决问题的能力.