Question

设f(x)=x^a sin1/x ,x≠0; f(x)=0,x=0. 在x=0处一阶连续可导？

设f(x)=x^a sin1/x ,x≠0; f(x)=0,x=0. 在x=0处一阶连续可导，求a的取值范围。

Answer 1

f(x)=x^a·sin(1/x)
f'(x)=ax^(a-1)sin(1/x)-x^a·cos(1/x)/x²
=x^(a-2)[axsin(1/x)-cos(1/x)]
a>2时
lim(x→0)f'(x)=0 f'(x)连续
a=2
f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)
lim(x→0)f'(x)=0-cos(1/x)
∵cosx是偶函数
∴左极限=右极限=函数值
f'(x)连续
a<2
lim(x→0-)f'(x)=-∞
lim(x→0+)f'(x)=+∞
∴f'(x)不连续
∴a的取值范围是a≥2.

Answer 2

详情如图所示

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