Question

在梯形如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,延长CB到E,使EB=AD,连接AE。 （1）求证：AE=CA. （2）若恰有AC平分

在梯形如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,延长CB到E,使EB=AD,连接AE。 （1）求证：AE=CA.
（2）若恰有AC平分∠BCD,AC⊥AB,AD=2，试求四边形AECD的周长和面积。

Answer 1

（1）证明 ∵在梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD
∴∠D+∠BCD=180° ，∠BCD=∠ABC
又∵∠ABE+∠ABC=∠ABE+∠BCD=180°
∴∠ABE=∠D
又∵AB=CD、EB=AD
∴△ABE与△CDA全等 则AE=CA
(2)因为AC平分∠BCD 所以∠dca=∠acb又因为AD//BC所以∠dca=∠dac
因为AC⊥AB所以∠d=∠bad=90°+∠dac=90°+∠acd
∴∠D+∠BCD=90°+∠acd+2∠acd=180° 可得∠acd=30°
根据勾股定理可得ac=2倍的根3 bc=4
所以周长为（2+2+4+2+2倍的根3=10+2倍的根3），面积是（4根号3），梯形的高是通过直角三角形BAC的面积转换计算得出的

Answer 2

（1）梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD，∴AC=BD

∵EB平行且等于AD，∴平行四边形AEBD，∴AE=BD，

∴AE=AC

(2)若AC平分∠BCD,AC⊥AB，则∠ABC=60°，∠ACB=∠ACD=∠CAD=30°

∴AB=CD=AD=2，BC=4

高=根号3

∴周长=10，面积=3根号3