Question

如下图,在半径为2的扇形AOB中,角AOB等于90度,点C是弧AB上的一个点,(不与点A,B重合），联结AC,bc,作0E垂直于

AC,OD垂直于BC. （1）当BC=1时，求OD的直。（2）点C在运动过程中，在三角形ODE中是否存在长度不变的边？若存在，请求出该边长，若不存在，请说明理由。（3）设BD为X,三角形ODE的面积为Y，求函数解析式和定义域。

Answer 1

(1)DB=BC/2=1/2，OB=1在直角三角形ODB中勾股定理得OD=√15/2
(2)由垂径定理可知，O,E,C,D四点共圆，且∠EOD=45度为定值，所以DE为定长
(3)OD=√(4-x^2)，OE=√(2+x√(4-x^2))
y=(OD*OEsinπ/4)/2=[√(4-x^2)]×[√(2+x√(4-x^2))]√2/4 (0<x<√2)

Answer 2

(2)连接AB，有勾股定理得
AB为2√2，
∵D，E分别是BC，AC的中点
∴DE=1/2AB=√2

Answer 3

⑴OD=√15/2

Answer 4

解：（1）如图（1），∵OD⊥BC，
∴BD=12BC=12，
∴OD=OB2-BD2=152；

（2）如图（2），存在，DE是不变的．
连接AB，则AB=OB2+OA2=22，
∵D和E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE=12AB=2；

（3）如图（3），连接OC，
∵BD=x，
∴OD=4-x2，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=45°，
过D作DF⊥OE．
∴DF=4-x22，
∴EF=OE-DF=22x，
∴y=12DF•OE=4-x2+x
4-x24（0＜x＜2）．