Question

简单二重积分 求详细步骤 多谢!!

实际是个概率论
f(x,y)=e^-(x+y) x>0 y>0
求P{X<Y}

二重积分怎么算?求详细步骤 多谢!!
∫∫e^-(x+y)dxdy
0<x<y

Answer 1

∫∫ (0<x<y) e^-(x+y)dxdy
=∫ (上限y,下限0) e^(-x) dx ∫ (上限+∞,下限0) e^(-y) dy
显然
∫ (上限y,下限0) e^(-x) dx
= -e^(-x) [代入上限y,下限0]
=1- e^(-y)

因此
∫∫ (0<x<y) e^-(x+y)dxdy
=∫ (上限y,下限0) e^(-x) dx ∫ (上限+∞,下限0) e^(-y) dy
= ∫ (上限+∞,下限0) [1- e^(-y)] * e^(-y) dy
= ∫ (上限+∞,下限0) [e^(-y) - e^(-2y)] dy
= - e^(-y) + 0.5e^(-2y) [代入上限+∞,下限0]
显然在y趋于+∞时，e^(-y)和e^(-2y)都趋于0，
而y=0时，- e^(-y) + 0.5e^(-2y)= -1+0.5= -0.5

所以
∫∫ (0<x<y) e^-(x+y)dxdy
= - e^(-y) + 0.5e^(-2y) [代入上限+∞,下限0]
=0 - (-0.5)
=0.5