已知等差数列{an}中,a1=-2,公差d=3;数列{bn}中,Sn为其前n项和...
已知等差数列{an}中,a1=-2,公差d=3;数列{bn}中,Sn为其前n项和,满足:2nSn+1=2n(n∈N+)(Ⅰ)记An=1anan+1,求数列An的前n项和S...
已知等差数列{an}中,a1=-2,公差d=3;数列{bn}中,Sn为其前n项和,满足:2nSn+1=2n(n∈N+) (Ⅰ)记An=1anan+1,求数列An的前n项和S; (Ⅱ)求证:数列{bn}是等比数列; (Ⅲ)设数列{cn}满足cn=anbn,Tn为数列{cn}的前n项积,若数列{xn}满足x1=c2-c1,且xn=Tn+1Tn-1-T2nTnTn-1(n∈N+,n≥2),求数列{xn}的最大值.
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(I)解:∵等差数列{an}中,a1=-2,公差d=3,
∴an=-2+3(n-1)=3n-5.
∴An=1anan+1=1(3n-5)(3n-2)=13(13n-5-13n-2),
∴数列An的前n项和S=13[(-12-1)+(1-14)+(14-17)+…+(13n-5-13n-2)]
=13(-12-13n-2)
=-n6n-4.
(II)证明:由2nSn+1=2n(n∈N+),可得Sn=1-12n.
当n=1时,a1=S1=12;
当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=(1-12n)-(1-12n-1)=12n.
当n=1时也成立.
∴bn=12n=12×(12)n-1.
∴数列{bn}是等比数列,首项为12,公比为12.
(III)数列{cn}满足cn=anbn=3n-52n.
数列{xn}满足x1=c2-c1=122--22=54.
当n≥2时,xn=Tn+1Tn-1-T2nTnTn-1=Tn+1Tn-TnTn-1=cn+1-cn=3n-22n+1-3n-52n=8-3n2n+1.
当n=1时也成立.
当n≤3时,数列{xn}单调递减;当n≥4时,数列{xn}单调递增,但是xn<0.
∴数列{xn}的最大值是x1=54.
∴an=-2+3(n-1)=3n-5.
∴An=1anan+1=1(3n-5)(3n-2)=13(13n-5-13n-2),
∴数列An的前n项和S=13[(-12-1)+(1-14)+(14-17)+…+(13n-5-13n-2)]
=13(-12-13n-2)
=-n6n-4.
(II)证明:由2nSn+1=2n(n∈N+),可得Sn=1-12n.
当n=1时,a1=S1=12;
当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=(1-12n)-(1-12n-1)=12n.
当n=1时也成立.
∴bn=12n=12×(12)n-1.
∴数列{bn}是等比数列,首项为12,公比为12.
(III)数列{cn}满足cn=anbn=3n-52n.
数列{xn}满足x1=c2-c1=122--22=54.
当n≥2时,xn=Tn+1Tn-1-T2nTnTn-1=Tn+1Tn-TnTn-1=cn+1-cn=3n-22n+1-3n-52n=8-3n2n+1.
当n=1时也成立.
当n≤3时,数列{xn}单调递减;当n≥4时,数列{xn}单调递增,但是xn<0.
∴数列{xn}的最大值是x1=54.
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