Question

已知等差数列{an}中，a1=-2，公差d=3；数列{bn}中，Sn为其前n项和...

已知等差数列{an}中，a1=-2，公差d=3；数列{bn}中，Sn为其前n项和，满足：2nSn+1=2n（n∈N+） （Ⅰ）记An=1anan+1，求数列An的前n项和S； （Ⅱ）求证：数列{bn}是等比数列； （Ⅲ）设数列{cn}满足cn=anbn，Tn为数列{cn}的前n项积，若数列{xn}满足x1=c2-c1，且xn=Tn+1Tn-1-T2nTnTn-1(n∈N+，n≥2)，求数列{xn}的最大值．

Answer 1

（I）解：∵等差数列{an}中，a1=-2，公差d=3，
∴an=-2+3（n-1）=3n-5．
∴An=1anan+1=1(3n-5)(3n-2)=13(13n-5-13n-2)，
∴数列An的前n项和S=13[(-12-1)+(1-14)+(14-17)+…+(13n-5-13n-2)]
=13(-12-13n-2)
=-n6n-4．
（II）证明：由2nSn+1=2n（n∈N+），可得Sn=1-12n．
当n=1时，a1=S1=12；
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(1-12n)-(1-12n-1)=12n．
当n=1时也成立．
∴bn=12n=12×(12)n-1．
∴数列{bn}是等比数列，首项为12，公比为12．
（III）数列{cn}满足cn=anbn=3n-52n．
数列{xn}满足x1=c2-c1=122--22=54．
当n≥2时，xn=Tn+1Tn-1-T2nTnTn-1=Tn+1Tn-TnTn-1=cn+1-cn=3n-22n+1-3n-52n=8-3n2n+1．
当n=1时也成立．
当n≤3时，数列{xn}单调递减；当n≥4时，数列{xn}单调递增，但是xn＜0．
∴数列{xn}的最大值是x1=54．