高一数学 数形结合 800字论文
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数形结合是根据数量与图形之间的关系,认识研究对象的数学特征、寻找解决问题的一种数学思想。通常情况下,在应用数形结合思想方法解决问题时,往往偏重于"形"对"数"的作用,也就是经常地利用图形的直观性来解决某些数学问题。
数形结合思想方法是近些年来高考重点考查的思想方法之一,每年的高考试题(特别是客观题)能够用此方法解决者均占相当的比例。其特点是形象、直观、快捷,因此是高考备考中应予重视的重要数学解题方法。
例1 (1995年全国理)已知I为全集,集合M、NI,若M∩N=N,则( )
A、 B、M C、 D、
分析:集合M、N比较抽象,欲具体考察其关系有困难,若能借助集合的图示(文氏图),就能化抽象为具体,故可作出文氏图加以解决。
可作出文氏图加以解决:
解:用文氏图来表示M、N(如图1),显然CIMCIN ,故选C
评注:对于抽象集合问题,只须按题设作出文氏图即可解决。
例2、(2003年新课程理)
设函数f(x)=,若f(x)>1,则x0的取值范围是
A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-2)∪ (0,+∞) D.(-∞,-1)∪ (1,+∞)
分析:常规思路:分段函数进行分段处理,因为f(x0)>1,当x0≤0时,2-x0-1>1,2-x0>2,∴x0<-1;当x0>0时,∴x0>1
综上,x0的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞)
本题若作出函数图象,就能回避分类讨论。
解:首先画出函数y=f(x)与y=1的图象(图2),结合图象,关注选项特征,易得f(x)>1时,所对应的x的取值范围,选D。
评注:对于与分段函数相联系的相关问题(如不等式,最值),均可借助图象法优化解题,另外,对于一些简单不等式,特别是解无理不等式,抽象不等式,均可考虑数形结合法,请看例3 。
例3、(1)已知奇函数f(x)的定义域为{x|x≠0,x∈R},且在(0,+∞)上单调递增,若f(1)=0,则满足x·f(x)<0的x的取值范围是_________。
(2)解不等式>x+1
分析(1):函数f(x)比较抽象,欲化归为具体目标不等式困难,注意到x·f(x)<0表明自变量与函数值异号,故可作出函数f(x)的图象加以解决。
解:作出符合条件的一个函数图象(示意图)如图3,观察图象易知,满足x·f(x)<0的x的取值范围是(-1,0)∪(0,1)。
分析(2):令y1=的图象为C1,y2=x+1的图象为C2,则解不等式就归结为寻求C1在C2上方时x的取值范围。
解:在同一坐标系内分别作出y1=和y2=x+1的图象(图4),由=x+1解得A(2,3),观察图象易得原不等式的解集{x|- ≤x<2}。
例4、(2004年上海)若函数f(x)=a|x-b|+2在[0,+∞)上为增函数, 则实数a,b的取值范围是______。
分析:①当a>0时,需x-b恒为非负数,满足题意,即a>0,b≤0。
②当a<0时,x-b恒为非正数,又∵x∈(0.+∞),∴不成立。
综合①②知a>0且b≤0。
这是给出的参考答案,本题若能从函数f(x)的图象考虑,不难迅速确定答案。
解:先作出函数f(x)的图象,由图象变换理论,只须将O(0,0)移至O'(b,0),在新系下,只须作出y=a|x|+2图象,若b>0,结合图象知,f(x)在[0,+∞)不单调。
∴b≤0,此时要使f(x)在[0,+∞)递增,结合图象分析得a>0。
评注:图象法是解决函数单调性问题的最基本方法。
例5、(2004年上海)已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间的距离为8,f(x)=f1(x)+f2(x)
(1)求函数f(x)的表达式。
(2)证明:当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解。
分析:由(1) ∴方程f(x)=f(a)即为,若去分母则得到关于x的三次方程,从“数”上处理较难,若能从“形”上考虑,“数形结合”问题可找到解决的方案。
解(2):由f(x)=f(a)得,在同一坐标系内作出f2(x)=和f3(x)=+的大致图象(图5),易知f2(x)与f3(x)在第三象限只有一个交点,即f(x)=f(a)有一个负数解。又f2(2)=4,f3(2)=+-4
当a>3时,
∴当a>3时,在第 一象限f3(x)的图象上存在
点(2,f3 (2))在f2(x)图象的上方。
∴f2(x)与f3(x)在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解。
因此,方程f(x)=f(a),有三个实数解。
评注:关于方程根的个数问题,使用数形结合处理比较方便、直观。
综上,从内容上讲,可以用数形结合思想方法解决的问题,主要有以下几类:
(1)集合的图示;
(2)与函数性质有关的问题;
(3)与方程、不等式有关的问题;
(4)最值问题;
(5)与解析几何有关的问题。
在使用数形结合方法时,要注意以下两点:
(1)数形结合常用来解选择题,填空题,属简缩思维模式,若用来处理解答题,要特别注意说理的严密性,如例5中两函数在第 一象限的交点的说明。
(2)在数形结合时,要注意对函数的优化选择,达到简洁、容易的目的,如将函数转化为=+处理
数形结合思想方法是近些年来高考重点考查的思想方法之一,每年的高考试题(特别是客观题)能够用此方法解决者均占相当的比例。其特点是形象、直观、快捷,因此是高考备考中应予重视的重要数学解题方法。
例1 (1995年全国理)已知I为全集,集合M、NI,若M∩N=N,则( )
A、 B、M C、 D、
分析:集合M、N比较抽象,欲具体考察其关系有困难,若能借助集合的图示(文氏图),就能化抽象为具体,故可作出文氏图加以解决。
可作出文氏图加以解决:
解:用文氏图来表示M、N(如图1),显然CIMCIN ,故选C
评注:对于抽象集合问题,只须按题设作出文氏图即可解决。
例2、(2003年新课程理)
设函数f(x)=,若f(x)>1,则x0的取值范围是
A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-2)∪ (0,+∞) D.(-∞,-1)∪ (1,+∞)
分析:常规思路:分段函数进行分段处理,因为f(x0)>1,当x0≤0时,2-x0-1>1,2-x0>2,∴x0<-1;当x0>0时,∴x0>1
综上,x0的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞)
本题若作出函数图象,就能回避分类讨论。
解:首先画出函数y=f(x)与y=1的图象(图2),结合图象,关注选项特征,易得f(x)>1时,所对应的x的取值范围,选D。
评注:对于与分段函数相联系的相关问题(如不等式,最值),均可借助图象法优化解题,另外,对于一些简单不等式,特别是解无理不等式,抽象不等式,均可考虑数形结合法,请看例3 。
例3、(1)已知奇函数f(x)的定义域为{x|x≠0,x∈R},且在(0,+∞)上单调递增,若f(1)=0,则满足x·f(x)<0的x的取值范围是_________。
(2)解不等式>x+1
分析(1):函数f(x)比较抽象,欲化归为具体目标不等式困难,注意到x·f(x)<0表明自变量与函数值异号,故可作出函数f(x)的图象加以解决。
解:作出符合条件的一个函数图象(示意图)如图3,观察图象易知,满足x·f(x)<0的x的取值范围是(-1,0)∪(0,1)。
分析(2):令y1=的图象为C1,y2=x+1的图象为C2,则解不等式就归结为寻求C1在C2上方时x的取值范围。
解:在同一坐标系内分别作出y1=和y2=x+1的图象(图4),由=x+1解得A(2,3),观察图象易得原不等式的解集{x|- ≤x<2}。
例4、(2004年上海)若函数f(x)=a|x-b|+2在[0,+∞)上为增函数, 则实数a,b的取值范围是______。
分析:①当a>0时,需x-b恒为非负数,满足题意,即a>0,b≤0。
②当a<0时,x-b恒为非正数,又∵x∈(0.+∞),∴不成立。
综合①②知a>0且b≤0。
这是给出的参考答案,本题若能从函数f(x)的图象考虑,不难迅速确定答案。
解:先作出函数f(x)的图象,由图象变换理论,只须将O(0,0)移至O'(b,0),在新系下,只须作出y=a|x|+2图象,若b>0,结合图象知,f(x)在[0,+∞)不单调。
∴b≤0,此时要使f(x)在[0,+∞)递增,结合图象分析得a>0。
评注:图象法是解决函数单调性问题的最基本方法。
例5、(2004年上海)已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间的距离为8,f(x)=f1(x)+f2(x)
(1)求函数f(x)的表达式。
(2)证明:当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解。
分析:由(1) ∴方程f(x)=f(a)即为,若去分母则得到关于x的三次方程,从“数”上处理较难,若能从“形”上考虑,“数形结合”问题可找到解决的方案。
解(2):由f(x)=f(a)得,在同一坐标系内作出f2(x)=和f3(x)=+的大致图象(图5),易知f2(x)与f3(x)在第三象限只有一个交点,即f(x)=f(a)有一个负数解。又f2(2)=4,f3(2)=+-4
当a>3时,
∴当a>3时,在第 一象限f3(x)的图象上存在
点(2,f3 (2))在f2(x)图象的上方。
∴f2(x)与f3(x)在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解。
因此,方程f(x)=f(a),有三个实数解。
评注:关于方程根的个数问题,使用数形结合处理比较方便、直观。
综上,从内容上讲,可以用数形结合思想方法解决的问题,主要有以下几类:
(1)集合的图示;
(2)与函数性质有关的问题;
(3)与方程、不等式有关的问题;
(4)最值问题;
(5)与解析几何有关的问题。
在使用数形结合方法时,要注意以下两点:
(1)数形结合常用来解选择题,填空题,属简缩思维模式,若用来处理解答题,要特别注意说理的严密性,如例5中两函数在第 一象限的交点的说明。
(2)在数形结合时,要注意对函数的优化选择,达到简洁、容易的目的,如将函数转化为=+处理
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