Question

已知数列{an}的前n项和Sn=-n^2+4n 1)求an通项公式 2）求数列{9-2an/2^n}的前n项和

因为原题是负的N的二次方,不是负N的二次方,所以~~~A1好像是3不是5吧!通项公式也是错的!

Answer 1

1)当n=1时，a1=s1=(-1)^2+4*1=5
n≥2时因Sn=-n^2+4n
所以 S（n-1)=(n-1)^2+4(n-1)
所以an=Sn-S(n-1)=2n+3
n=1则an=2*1+3=5
所以通项公式an=2n+3
2）（9-2an）/2^n=（9-4n-6)/2^n=(3-4n)/2^n
=-(4n-3)/2^n
数列{9-2an/2^n}的前n项和
Tn=-1/2-5/2^2-9/2^3-......-(4n-7)/2^(n-1)-(4n-3)/2^n
1/2*Tn= -1/2^2-5/2^3-.............................-(4n-7)/2^n-(4n-3)/2^(n+1)
相减得
1/2*Tn=-1/2-1-1/2-1/2^2......-1/2^(n-2)+(4n-3)/2^(n+1)
所以Tn=-1-2-1-1/2-1/2^2-......-1/2^(n-3)+(4n-3)/2^n
=-3-[1+1/2+1/2^2+......+1/2^(n-3)]+(4n-3)/2^n
=-3-[1-1/2^(n-2)]/(1-1/2)+(4n-3)/2^n
=-3-2+2/2^(n-2)+(4n-3)/2^n
=(4n+5)/2^n-5

追问

因为原题是负的N的二次方,不是负N的二次方,所以~~~A1好像是3不是5吧!通项公式也是错的!

Answer 2

an=Sn-S(n-1)
　=-n^2+4n-[-(n-1)^2+4(n-1)]
　=-n^2+4n+(n-1)^2-4(n-1)
　=-2n+5(sn常数项为0不必验证a1，否则必须验证a1)
bn=9-2an/2^n
　=9-2(-2n+5)/2^n
　=9+(4n-10)/2^n
设cn=n/2^n
则scn　　　=1/2^1+2/2^2+3/2^3+4/2^4+……………+(n-1)/2^(n-1)+n/2^n
　scn/2　　=　　　1/2^2+2/2^3+3/2^4+4/2^5+……+(n-2)/2^(n-1)+(n-1)/2^n+n/2^(n+1)
　scn-scn/2=1/2^1+1/2^2+1/2^3+1/2^4+1/2^5+……+1/2^(n-1)　　+1/2^n　 -n/2^(n+1)
　scn/2　　=1-1/2^n-n/2^(n+1)
　scn=2-(2+n)/2^n
　sbn=9*n+4[2-(2+n)/2^n]-10(1-1/2^n)
　　 =9n-2+[10-4(n+2)]/2^n
　　 =9n-2+(2-4n)/2^n
上面求scn的方法称为错位相减，当一个数列的通项公式等于一个等差数列的通项公式与一个等比数列的通项公式的积时，必须用这种错位相减法才能求和。