Question

已知点p(x,y)是圆x2+y2=2y上的动点,求y\(x+2)的取值范围

除了看做斜率，用参数方程用没有别的方法？

Answer 1

x2+y2=2y化成标准方程
x²+(y-1)²=1，圆心C(0,1),半径为1
设y/(x+2)=k得直线l:kx-y+2k=0
∴l与圆x²+(y-1)²=1有公共点
∴圆心C与直线l的距离小于等于半径
即：|-1+2k|/√(k²+1)≤1
∴(2k-1)²≤k²+1
即3k²-4k≤0
解得0≤k≤4/3
∴y/(x+2)的取值范围是[0.3/4]

本题解法可以说是斜率的，也可以
说是整体代换
若求x+2y的范围也可以用此法

追问

能用参数方程的办法做吗？

追答

本题没必要用参数方程的方法，转化成三角函数反而麻烦

例 求 (2-sinθ)/(2-cosθ)的取值范围
（本问题反过来要回到解析几何更简洁）
∵sin²θ+cos²θ=1
∴(cosθ,sinθ)--->(x,y),
转化成 x²+y²=1 ， (2-sinθ)/(2-cosθ)=（2-y)/(2-x) 来做

追问

额。。。你的这种我懂，但是老师要求用参数方程做。。。。。。

追答

老师也真是的，逆行
x²+(y-1)²=1，圆心C(0,1),半径为1
x=cosθ, y=1+sinθ
设y\(x+2)=(1+sinθ)/(2+cosθ)=t
1+sinθ=2t+tcosθ
sinθ-tcosθ=2t-1
两边同时除以√(1+t²)
1/√(1+t²)sinθ-t/√(1+t²)cosθ=(2t-1)/√(1+t²)
令sinφ=t/√(1+t²),cosφ=1/√(1+t²)
∴sin(θ-φ)=(2t-1)/√(1+t²)
∵sin(θ-φ)∈[-1,1]
∴|2t-|)/√(1+t²) ≤1
==>0≤t≤4/3