Question

已知函数.求函数的定义域和值域;指出函数的单调区间.

已知函数. 求函数的定义域和值域; 指出函数的单调区间.

Answer 1

由求得函数的定义域,再根据真数和对数函数的性质求出函数的值域;
分和两种情况,化简真数对应的函数,并判断在区间上单调性,由底数是的对数函数的单调性和"同增异减"法则,求出原函数的单调性及单调区间.
解:由题意知,函数,
由解得,或,
则函数定义域:,
由,则函数值域:.
当时,函数,并且在是减函数,
函数在定义域上是增函数,
原函数在是减函数,
当时,函数,并且在是增函数,
函数在定义域上是增函数,
原函数在是增函数,
综上,函数的单调减区间;单调增区间.
本题考查了对数型复合函数的性质,利用真数大于零求出函数的定义域和值域,再根据绝对值中式子的符号进行分类求解,利用"同增异减"法则求原函数的单调区间,考查了分析问题和解决问题的能力.