如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BB1，,AC1⊥平面A1BD,D为AC中点， 求证：B1C1⊥平面ABB1A1
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AC1⊥平面A1BD
AC1⊥BD
AA1⊥BD
BD⊥平面AA1C1C
BD⊥AC
D为AC中点，三线合一
所以AB=BC
设AC1交A1D于点M AC1⊥A1D
△A1AD∽△AMD
△AMD∽△ACC1
所以
△A1AD∽△ACC1
AA1/AD=AC/CC1 AC=2AD AA1=CC1=BB1=AB
AB^2=2AD^2
AB=√2AD
所以△ABD是等腰直角三角形
所以△ABC是等腰直角三角形
所以AB⊥BC
BC⊥BB1
BC⊥平面AA1B1B
BC//B1C1
所以 B1C1⊥平面AA1B1B
AC1⊥BD
AA1⊥BD
BD⊥平面AA1C1C
BD⊥AC
D为AC中点，三线合一
所以AB=BC
设AC1交A1D于点M AC1⊥A1D
△A1AD∽△AMD
△AMD∽△ACC1
所以
△A1AD∽△ACC1
AA1/AD=AC/CC1 AC=2AD AA1=CC1=BB1=AB
AB^2=2AD^2
AB=√2AD
所以△ABD是等腰直角三角形
所以△ABC是等腰直角三角形
所以AB⊥BC
BC⊥BB1
BC⊥平面AA1B1B
BC//B1C1
所以 B1C1⊥平面AA1B1B
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