Question

高中数学题，判断下列不等式是否成立，并给出证明过程。

不等式如下，要求见题。

Answer 1

1)第一个简单
只需要两边平方
交叉相乘
就可以等价得到
2(a+b)^2<=4(a^2+b^2)
即
2ab<=a^2+b^2
所以原不等式成立
2)
题目应该漏掉了条件
(a,b>0)
要不a=-1,b=-2代进去肯定不成立
原不等式两边同时乘以(a+b)得
b^2+a^2+b^3/a+a^3/b>=(a+b)^2
只要证明
b^2/a+a^3/b>=2ab
即可
利用不等式
可得b^3/a+a^3/b>=2√b^3/a*a^3/b=2ab
所以原不等式成立。

Answer 2

①
(a+b)/2=√[(a+b)^2/4]=√[(a^2+b^2+2ab)/4]≤√[(a^2+b^2+a^2+b^2)/4]=√[(a^2+b^2)/2]
②(b^2/a)+a≥2√b^2=2b
(a^2/b)+b≥2√a^2=2a
两式相加得：
(b^2/a+(a^2/b)+(a+b)≥2(a+b)
(b^2/a+(a^2/b)≥a+b