Question

已知函数f（x）=ax+lnx（1）若f（x）＜0恒成立，试求a的取值范围；（2...

已知函数f（x）=ax+lnx （1）若f（x）＜0恒成立，试求a的取值范围； （2）设函数g（x）=12x2+（a2-a+1）x，令h（x）=g（x）-af（x），试证明存在唯一的正实数a0，使得函数h（x）的最小值为0，且1＜a0＜2．

Answer 1

（1）解：若f（x）＜0恒成立，即为ax+lnx＜0对x＞0恒成立．
即有-a＞lnxx，
令m（x）=lnxx，m′（x）=1-lnxx2，
当x＞e时，m′（x）＜0，m（x）递减；当0＜x＜e时，m′（x）＞0，m（x）递增．
则x=e处m（x）取得极大值，也为最大值，且为1e，
则有-a＞1e，即a＜-1e；
（2）证明：h（x）=g（x）-af（x）=12x2+（a2-a+1）x-a2x-alnx=12x2+（1-a）x-alnx，
h′（x）=x+（1-a）x-ax=x2+(1-a)x-ax=(x+1)(x-a)x，
当a≤0时，h′（x）＞0，h（x）递增，不存在最小值，
则a＞0，当x＞a时，h′（x）＞0，h（x）递增，当0＜x＜a时，h′（x）＜0，h（x）递减．
则x=a处h（x）取得极小值，也为最小值，且为a-12a2-alna，
令h（a）=a-12a2-alna，
h（1）=1-12-0＞0，h（2）=2-2-2ln2＜0，
由零点存在定理可得，h（a）在（1，2）内存在零点，
又h′（a）=1-a-（lna+1）=-a-lna＜0，h（a）递减，
则存在唯一的正实数a0，使得函数h（x）的最小值为0，且1＜a0＜2．