已知函数f(x)=ax+lnx(1)若f(x)<0恒成立,试求a的取值范围;(2...

已知函数f(x)=ax+lnx(1)若f(x)<0恒成立,试求a的取值范围;(2)设函数g(x)=12x2+(a2-a+1)x,令h(x)=g(x)-af(x),试证明存... 已知函数f(x)=ax+lnx (1)若f(x)<0恒成立,试求a的取值范围; (2)设函数g(x)=12x2+(a2-a+1)x,令h(x)=g(x)-af(x),试证明存在唯一的正实数a0,使得函数h(x)的最小值为0,且1<a0<2. 展开
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苏宾文暄玲
2020-06-28 · TA获得超过3789个赞
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(1)解:若f(x)<0恒成立,即为ax+lnx<0对x>0恒成立.
即有-a>lnxx,
令m(x)=lnxx,m′(x)=1-lnxx2,
当x>e时,m′(x)<0,m(x)递减;当0<x<e时,m′(x)>0,m(x)递增.
则x=e处m(x)取得极大值,也为最大值,且为1e,
则有-a>1e,即a<-1e;
(2)证明:h(x)=g(x)-af(x)=12x2+(a2-a+1)x-a2x-alnx=12x2+(1-a)x-alnx,
h′(x)=x+(1-a)x-ax=x2+(1-a)x-ax=(x+1)(x-a)x,
当a≤0时,h′(x)>0,h(x)递增,不存在最小值,
则a>0,当x>a时,h′(x)>0,h(x)递增,当0<x<a时,h′(x)<0,h(x)递减.
则x=a处h(x)取得极小值,也为最小值,且为a-12a2-alna,
令h(a)=a-12a2-alna,
h(1)=1-12-0>0,h(2)=2-2-2ln2<0,
由零点存在定理可得,h(a)在(1,2)内存在零点,
又h′(a)=1-a-(lna+1)=-a-lna<0,h(a)递减,
则存在唯一的正实数a0,使得函数h(x)的最小值为0,且1<a0<2.
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