Question

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1.计算二重积分（D）∫∫（x^2+y^2）dxdy,其中D为闭区域x^2+y^2<=2ax(a<0)围成的闭区域。
2.计算曲面积分（D）∫∫（x^2 cosα+y^2 cosβ+z^2 cosγ）dS,其中D为曲面x^2+y^2=2z介于平面z=0和z=2之间的部分的上侧，cosα, cosβ, cosγ为D在点（x,y,z）处的法向量的方向余弦。

Answer 1

1、极坐标变换：x=rcosθ，y=rsinθ，代入表达式得r^2<=2arcosθ，或
r<=2acosθ。由于r>=0，因此cosθ<=0，故pi/2<=θ<=3pi/2。
于是积分
=积分（从pi/2到3pi/2）dθ 积分（从0到2acosθ）r^2*rdr
=积分（从pi/2到3pi/2）4a^4*cos^4θ dθ
=8a^4*积分（从0到pi/2）cos^4 θdθ
=3pi*a^4/2。
2、记G={(x，y): x^2+y^2<=4}。z=(x^2+y^2)/2，
az/ax=x，az/ay=y，
代入公式得 曲面积分
=二重积分_G 【x^2*(--x)+y^2*(--y)+(x^2+y^2)^2/4*1】dxdy
由对称性前两项积分为0，再做极坐标变换
=积分（从0到2pi）dθ 积分（从0到2）r^4/4*rdr
=16pi/3。