Question

高数已知f（x^2），求d^2y/dx^2

已知f（x^2），求d^2y/dx^2 我想问的是如果只是单纯的去求f''（x^2）=4x^2*+f''（x^2）+2f'(x^2) 但是我现在通过d^2y/dx^2来求，可是求的的结果不一样，过程如下，因为f'(x^2)= 2xf'(x^2)所以d^2y/dx^2 =[｛d（dy/dx)}/dx]*(dy/dx)=[｛d（f'(x^2))}/dx]*(dy/dx).说明dy/dx=f'(x^2),可是这样算出来的结果不对啊，高手帮助一下

Answer 1

正常步骤是：
第一步：求dy/dx，由于是复合函数，所以显然dy/dx=2xf'(x^2)
第二步，继续对x求导可得d^2y/dx^2,所以d^2y/dx^2=2f'(x^2)+2x*f''(x^2)*2x=2f'(x^2)+4x^2*f"(x^2)

我想你已经知道了。你的解答有一步有问题：d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx,而不是你打得还要乘以dy/dx。

追问

你好，这个我知道，可是书上d^2y/dx^2求的过程是这样写的d^2y/dx^2=[d（dy/dx)/dx]*(dy/dx)你能告诉我，后面又乘了一个dy/dx。那这个题d^2y/dx^2=d[2f'(x^2)]/dx *f'(x^2)=[2f'(x^2)+4x^2*f"(x^2) ]*2xf'(x^2)

追答

我只能说你书是不是出错了？
只有一种情况类似于你的公式的，就是y=f(t),x=g(t),求d^2y/dx^2=d[f'(t)/g'(t)]/dt*dt/dx，不然直接对自变量求导的情况，就是几阶导就求导几次，最多注意复合函数的情况乘以自变量的导数！

追问

嗯你说的对，那个是含有参数方程所确定的函数的导数，我说不行，我给你发张图片吧，谢谢你

追答

我这样写了，看你能不能明白
d^2x/dt^2=d[dx/dt]/dt=df(x)/dt
因为f(x)是关于自变量x的函数，无法直接对t求导，所以上式你得转换一下：
df(x)/dt=df(x)/dx *dx/dt=f'(x)*f(x)
有点类似于A/C=A/B*B/C，实际原理不是这样，但你可以这样记忆先，便于你了解为什么等式会相等。
具体原理是：在微分的时候，函数只能直接对该自变量求导，然后乘以 自变量对其对于的其他变量的导函数。

Answer 2

y=f(x^2)?。这样的话，
d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx，怎么后面还要成dy/dx?
d^2y/dx^2=d(2xf'(x^2))/dx
=2f'(x^2)+2x*d(f'(x^2))/dx
=2f'(x^2)+4x^2f''(x^2)。完全一样