Question

为什么实对称矩阵的相似对角化要用正交矩阵？

一般矩阵的相似对角化用它的特征向量组成的矩阵就可以了，为什么实对称矩阵的相似对角化这么特殊呢，名称叫做正交矩阵化，求得特征向量矩阵后还要正交化和单位化使之成为正交矩阵呢？求大神指点

Answer 1

对称矩阵
也可以用一般的由
特征向量
组成的非奇异阵做对角化，只不过它有特殊的性质（对称），因此我们就可以考虑特殊的对角化，也就是正交相似对角化。
这么做有好处：
正交矩阵
的
逆矩阵
很容易求，就是它的
转置
，不像一般的可逆阵需要半天才能求出来。如果是一个1000*1000的
矩阵求逆
，那要多长时间才能做完？但正交矩阵就太容易了，只要转置一下就行了。
扩展资料：
正交矩阵从
内积
自然引出的，所以对于复数的矩阵这导致了归一要求。正交矩阵不一定是
实矩阵
。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的
酉矩阵
，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。
把一个
解析式
变成与它
恒等
的另一个解析式．使用
恒等变换
往往是在碰到的问题比较繁杂、一时难以下手的时候，通过恒等变换把要解决的问题简化，由未知到已知，
最终解决
问题．所以，恒等变换的特点就是：将复杂的问题通过表达形式的变形转化成容易解决的简单问题。
它的
正交性
要求满足三个方程，在考虑第一个方程时，不丢失一般性而设p=cosθ,q=sinθ；因此要么t=−q，u=p要么t=q,u=−p。我们可以解释第一种情况为旋转θ(θ=0是
单位矩阵
)，第二个解释为针对在角θ/2的直线的反射。
旋转反射在45°的反射
对换
x和y；它是
置换矩阵
，在每列和每行带有一个单一的1(其他都是0)。
参考资料来源：
百度百科
——正交矩阵

Answer 2

对称矩阵也可以用一般的由特征向量组成的非奇异阵做对角化，只不过它有特殊的性质（对称），因此我们就可以考虑特殊的对角化，也就是正交相似对角化。这么做有好处：正交矩阵的逆矩阵很容易求，就是它的转置，不像一般的可逆阵需要半天才能求出来。你想想，如果是一个1000*1000的矩阵求逆，那要多长时间才能做完？但正交矩阵就太容易了，只要转置一下就行了。

Answer 3

因为实对称矩阵是特殊的矩阵
他的特点就是可以正交对角化（一般的矩阵只能相似对角化）即把特征向量组成的矩阵再进行斯密特正交化以及单位化
这样做的目的是使得
P的逆矩阵AP＝P的转置矩阵AP
即P的逆矩阵＝P的转置矩阵
如果不进行正交化和对角化
则只是P的逆矩阵AP＝B
即A
B相似。