Question

什么是唯一性

Answer 1

经过两点有且只有一条直线，这样的话我们也常说成两点确定一条直线；经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，只有一组对边平行的四边形是梯形，等等，这些定理、定义中用到的“有…”表示存在性， “只有一个”表示唯一性，“有且只有一个”表示存在且唯一，存在且唯一我们也常说“唯一确定”。
存在性和唯一性是相互独立、互不影响的。存在性不保证唯一性很容易理解，但有的人对于唯一性不保证存在性感到疑惑：“都有一个了，还会不存在？”这样的疑问源于对于唯一性的理解有误，唯一性的准确表达应该是“如果有，则只有一个，也可以没有”，这一点特别容易引起误解。
对于很多初学的学生来说，理解存在性和唯一性上还是有一些困难的，因为生活中很少有人这样说话，即使有这样的意思也很少有人这样表达。
汉语中有很多表示唯一性的说法，例如“天无二日，国无二君”，天上不会有两个太阳，即天上最多只有一个太阳，也可以没有太阳，以此来类比一个国家最多只能有一个国君，多是指皇帝；再加上一句“国不可一日无君”，那么皇帝就是存在且唯一的了，当然这只是理论，实际上到了社会动乱的时候就不是这样的。再比如独生子女政策，是指一对夫妻最多可以生育一胎，但也可以不生育；类似的还有“一山不容二虎”，“一夫一妻制”等等。
在证明“存在且唯一”这类命题时，一般都是先证明存在性，再证明唯一性；对于唯一性的证明很多情况下都用反证法，这也是为什么要先证明存在性的原因，因为如果先证明唯一性，在对命题结论否定时就要假设“没有或至少有两个”，如果已经证明了存在性，我们只需假设“至少有两个”就可以了。
存在性比较容易理解，存在只表示有，至少有一个，但不限制有多少，也许只有一个，也许有很多甚至于无限，具体有多少、是 什么等不是存在性解决的问题；比如说素数有无数个，或者说没有最大的素数，但目前要找到一个比已知的素数更大的素数是很不容易的；再比如我们说过圆外一点有两条直线和圆相切，但要把切线做出来是需要相关的数学知识的。
存在性的表达在数学中很有特点，比如我们说“有一个内角是直角的平行四边形是矩形”，有人会觉得很奇怪，因为矩形的四个内角都是直角，为什么不说成有四个内角是直角的平行四边形是矩形？ “有两条边相等的三角形是等腰三角形”，定义中不能指出具体的哪两条边相等，因为也有可能三条边都相等。
数学问题中，对于存在性和唯一性的准确表达和理解很重要。例如当我们说“关于x的方程ax2+x-1=0(a为实数)只有一个正数解”时，表达就不准确，容易产生歧义。一种理解是“关于x的方程ax2+x-1=0(a为实数)有且只有一个解，且解为正数”，另一种理解是“这个方程有两个解，其中一个是正数，另一个不是正数，或者这个方程只有一个解且这个解是正数”；这与我们生活中说“我只有一个儿子”的表达类似，如果重点强调的是一个，那就是只有一个孩子，并且是儿子；如果重点强调的是儿子，那就是儿子只有一个，可能还有一个或几个女儿。
鲁迅先生有一个关于存在性的很有意思的故事；鲁迅先生在北京大学当教授时，有一次开学校董事会，那时候教授对学校的管理是有很大的发言权的，但校长为了不让教授们讲话，说了一句“没钱就不要说话”，鲁迅先生从口袋里掏出一块银元拍在桌子上，说“我有钱”；鲁迅先生巧妙地利用了“没有”的否定是“有”，而“有”只表示存在而不限定多少。

Answer 2

唯一性揭示了解析函数的一个非常深刻的性质，即由解析函数在区域内的部分点上的值确定了它在区域内的一切值，这表明解析函数在局部与整体上的值之间有着十分紧密的内在联系。
解的唯一性
定理1
如果函数f(x,y)在矩形域R上连续且关于y满足利普希茨条件，则方程dy/dx=f(x,y);存在唯一的解y=φ(x)，定义于区间|x-x0|<=h上，连续且满足初值条件φ(x0)=y0,这里h=min(a,b/M) , M=max|f(x,y)|。
命题1
设y=φ(x)是方程的定义于区间x0<=x<=x0+h上，满足初值条件φ(x0)=y0的解，则y=φ(x)是积分方程y=y0+∫f(x,y)dx,x0<=x<=x0+h的定义于x0<=x<=x0+h上的连续解，反之亦然。
命题2
对于所有的n，皮卡逐步逼近函数φn(x)在 x0<=x<=x0+h上有定义，连续且满足不等式|φn(x)-y0|<=b。
命题3
函数序列{φn(x)} 在x0<=x<=x0+h上已收敛的。
命题4
φn(x)是积分方程的定义于x0<=x<=x0+h上的连续解
命题5
设ψ(x)是积分方程的定义于 x0<=x<=x0+h的另一个解，则ψ(x)=φ(x)(x0<=x<=x0+h)