Question

设函数f(x)=(x^2+ax+a)e^-x,其中x属于R，a是常数。确定a的值

1）确定a的值，使f（x)的极小值为0
（2）证明；当且仅当a=5时，f（x)的极大值为5
（3）讨论关于x的方程飞f(x)+f(x)的导数=2xe^(-x）+1/x(x不为0）的实数根的个数

Answer 1

（1）：先对f（x）求导：F（x）=[-x^2+（2-a）x]e^(-x),因为e^(-x)是减函数，所以当g(x)=[-x^2+(2-a)x]达到极大值时，原函数达到极小值，令F（x）=0，则g(x)=0,x=0或x=(2-a）时达到极小值，当x=0时，要使f（x）=0，则a=0:；当x=（2-a）时，f（x）=（a-4）e^[-(2-a)]，所以a=4.
（2）：证：由（1）知，当x=0或x=2-a时原函数达到极大值，显然，当x=2-a时不满足题意，故x=0，此时f（x）=a，要使极大值为5，则a=5，满足题意，证毕！
（3）：方程为：（x^2+ax+a）e^(-x)+[-x^2+(2-a)x]e^(-x)=2xe^(-x)+1/x,整理得：ae^(-x)=1/x，化简得：xe^(-x)=1/a，设K(x)=xe^(-x),则求导后为(1-x)e^(-x)，令导函数为0，则x=1，当x<1时，导函数大于0，原函数递增，当x>1时，导函数小于0，原函数递减，故当x=1时原函数达到最大值为1/e，故，当1/a>1/e时，即a<e,实数根个数为0；当1/a=1/e时，即a=e,实数根个数为1；当1/a<1/e时，即a>e,实数根个数为2.