Question

证明1/(n+1)<ln(1+1/n)<1/n,n取正整数

Answer 1

构造函数f(x)=ln(1+x)-x,（x>0）
则f'(x)==1/（1+x)-1=-x/(1+x)<0,
所以f(x)在x>0上単减
因此f(x)<f(0)=0
所以ln(1+x)-x<0即
ln(1+x)<x（x>0）
用1/n（n∈N*)代x,得ln[1+(1/n)]<1/n
再构造函数g(x)=ln(1+x)-x/(x+1)（x>0）
则g'(x)=x/(x+1)^2>0
所以g(x)在x>0上单增，因此
g(x)=ln(1+x)-x/(x+1)>g(0)=0即
ln(1+x)>x/(x+1)（x>0）
用1/n（n∈N*)代x得ln[1+(1/n)]>(1/n)/[(1/n)+1]所以
ln[1+(1/n)]>1/(1+n)
由上可得1/(n+1)<ln(1+1/n)<1/n,n取正整数

Answer 2

设f(x)=ln(1+1/x)-1/x
f'(x)=1/(1+1/x)*(-1/x^2)+1/(x^2)=1/(x^2)(1-x/(1+x))=1/[(1+x)x^2]>0
f(x)在x>=1时是增函数．
因n>=1 f(n)=ln(1+1/n)-1/n是增的．最大值为f(无穷大)
limf(n) (n趋于无穷）=ln1-0=0
所以f(n)=ln(1+1/n)-1/n<0 ln(1+1/n)<1/n

定g(x)=1/(x+1)-ln(1+1/x)
g'(x)=-1/(x+1)^2+x/((1+x)x^2)=1/(x+1)*[1/x-1/(x+1)] x>=1时，g'(x)>0
g(x)为增，最小值为g(1)
所以g(n)=1/(n+1)-ln(1+1/n)为增，最大值为g(无穷大) g(n)<=g(无穷大)
limg(n) n趋于无穷=0-0=0
g(n)<0
即：1／（n+1)<ln(1+1/n)