Question

九年级数学8

已知p为质数，使二次方程x^2-2px+p^2-5p-1=0的 两根都是整数，求出p的 所有可能值。

Answer 1

二次方程x^2-2px+p^2-5p-1=0中根的判别式=20p+4=5p+1所以x1={2p+根号4（5p+1）}/2=p+根号（5p+1）;x2=｛2p-根号4（5p+1）｝=p-根号（5p+1）要使两根都是整数，则5p+1是完全平方数因为5p的个位数是5，所以5p+1的个位数是6，那么根号（5p+1）的个位数就是4或6所以可以猜想5p+1=4^2,14^2,24^2,34^2.......也可以是6^2,16^2,26^2,36^2.......这样看来似乎p的值有无数个但通过观察可知5p可以表示成（5a-1)^2-1
或(5a+1)^2-1
a是不小于1的整数用平方差可以将上式化简得到p=(5a-2)a或p=(5a+2)a因为p是质数，由质数定义可以知道a只能=1综上所诉p=3或7