Question

高中数学集合元素问题 还是不怎么明白

Answer 1

简单地说:
本题所求的,
就是
[由
1
~
n
这
n
个自然数所构成的集合
A
的所有
子集的所有元素之和].
因为题目没有限定
m
的值,
所以我们只能认为
m
可以任意取;
而
m
的最大值,
就是
A
的所有子集个数:
2^n
答案中关于
i
的说法你可能不明白,
但你应该知道根据一个集合,
构造它的任意子集的方法:
对
A
中的每个元素进行
[取舍],
当遍历完所有元素后,
就自然构造出一个子集了.
而所有的
[取舍]
组合,
就构成了
A
的所有子集.
1
2
3
4
…
n
---------------------------
M1:
0
0
0
0
0
=S1
M2:
0
0
0
0
1
=S2
…
M(i):
0
1
0
1
0
=S(i)
…
M(2^n):
1
1
1
1
1
=S(2^n)
----------------------------
T1
T2
T3
T4
Tn
上表表示了构造
A
的所有子集的方法,
其中
0
表示相应子集中不包含相应元素;
1表示包含.
我们最终所求的
S,
其实就是表中所有的
0,
1
与其所对应的元素
[乘积]
的总和.
与
0
相乘结果肯定是
0;
所以,
起作用的是
1.
横向看:
就是所有
Si
之和;
纵向看:
就是所有
Ti
之和;
Ti
=
相应列中,
所有的
1
与相应元素的
[乘积]
之和;
也就是
1
的个数与相应元素之积.
不难看出:
每一列(也就是每一个元素)中,
出现
0,
1
的次数肯定是对半分.
总行数,
也就是
A
的子集总数
=
2^n;
所以:
每列中,
1
的个数
=
2^(n-1);
所以:
Ti
=
i
*
2^(n-1);
所以:S
=
ΣSi
=
ΣTi
=
(1
+
2
+
…
+
n)
*
2^(n-1);