Question

数列{an}是正项数列，且∑an收敛，求证lim(n →∞)（n*an）=0

Answer 1

证明：设lim(n*an)=a ≠0，因为{an}是正项数列，有a>0
于是：lim(n*an)=liman/(1/n)=a>0
因为∑1/n发散，所以级数∑an发散，矛盾。
所以：lim(n*an)=0

Answer 2

设bn=nan,则limb(n+1)/bn=lim(n+1)a(n+1)/nan=lima(n+1)/an
若lima(n+1)/an>=1，则{an}发散，所以有limb(n+1)/bn=lima(n+1)/an<1
由比值审敛法，{bn}={nan}收敛，故limnan=0