Question

在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为根号2,设AB1与BC1成60度角。求侧棱长。

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为 根号2，设AB1与BC1成60度角。求侧棱长。

Answer 1

2
过B1作BC1的平行线，交BC于D
BD=AB=根号2,角ABD=120度
AD=根号2*根号3＝根号6
因为AB1与B1D成60度角,AB1=B1D
AB1D为正三角形，AB1=AD=根号6
再根据勾股定理，侧棱长＝2

Answer 2

在AB、BB1、BC1、A1B上分别取中点：D、E、F、H
连结DE，EF，FD，DH，FH
DE//AB1，且DE=1/2AB1；
EF//BC1，且EF=1/2BC1；
所以DE与EF成60度夹角。

在三角形DEF中，角DEF=60°或120°
设侧棱长为h，底面边长为a
则：DE^2=EF^2= （a/2)^2+(h/2)^2
DF^2=DH^2+FH^2=h^2+(a/2)^2
如果角DEF=60°，则DE=EF=DF,
即，（a/2)^2+(h/2)^2=h^2+(a/2)^2 显然不成立；
如果角DEF=120°，则DF=√3*DE,即DF^2=3*DE^2
即，h^2+(a/2)^2 =3[（a/2)^2+(h/2)^2]
得h= √2*a=√2*√2=2

所以，侧棱长为2