Question

求助高数！！！

设平面过点（3,1,-2）,且通过直线（x-4)/5=(y+3)/2=z/1,求该平面方程。
知道答案，但不知道怎么做，求过程。

Answer 1

方法一：利用共面的向量的混合积为0来求解。点A（3,1，-2）直线上的点B（4，-3,0）直线的方向向量n（5,2,1），平面上任意一点C（x,y,z）可以知道，向量：AB，n，AC是共面向量，所以他们的混合积为0，据此得到一个三阶行列式，化简这个行列式就可以得到平面方程。 解答过程略
方法二：同上，利用n和AB的叉积求出平面的法向量，然后用平面的点向式求解。 解答过程略
方法三：利用平面簇的方法来求解。
过直线（x-4)/5=(y+3)/2=z/1的平面有无穷多个，我们要求的仅仅是其中的一个。
而平面簇的表达式可以如下：2x-8-5y-15+k(2z-y-3)=0，其中k是待求的系数。
我们此时仅需要把点（3,1,-2）带入上面的方程，求出相应的k值即可，这里k=-11/4
所以我们把k=-11/4带入上式，化简即可得到8x-9y-22z+59=0
其中需要注意，此平面簇并不包含平面2z-y-3=0，但是我们并没有做什么特别的说明，这是因为，如果在上面的方程中解不出相应的k值，那我们就能肯定平面2z-y-3就是我们需要的平面！（试想为什么这么说）
比如，点（3,1,-2）的坐标变成了（2，-1,0），我们如果带进去，发现会出现-14=0，这说明此点并不在我们的平面簇上，但是由于我们给出的平面簇仅仅漏掉了平面2z-y-3=0，同时我们还知道：一条直线和其外一点，必定确定位移一个平面，
此时就很明显了：平面肯定存在，而且除了2z-y-3=0外其他平面均不满足，那么2z-y-3=0当然就是那个满足条件的平面了，至于是不是，方法很简单，把点的坐标带入验算即可！

Answer 2

8x-9y-22z+59=0