Question

数学复数讲解

Answer 1

复数相等的定义 根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d∈R，两个复数a+bi和 c+di 相等规定为a+bi =c+di . 由这个定义得到 a+bi=0 . 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。 如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等. 例1.实数 m 取什么数值时，复数z=m +1+(m－1)i是： （1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？ 解：复数z=m+1+(m－1)i 中，因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，它们分别是z的实部和虚部， ∴ （1）m=1时，z是实数； （2）m≠1时，z是虚数； （3）当 时，即m=－1时，z是纯虚数； 例2.已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x, y∈R，求x, y. 解：根据复数相等的意义，两个复数相等则实部等于实部 ，虚部等于虚部，得方程组， 解得 x= , y=4. x o 1 你能否找到用来表示复数的几何模型吗？ 实数可以用数轴上的点来表示。 一一对应 规定了正方向， 直线 数轴 原点， 单位长度 实数 数轴上的点 (形) (数) (几何模型) 复数z=a+bi 有序实数对(a,b) 直角坐标系中的点Z(a,b) x y o b a Z(a,b) 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面 x轴------实轴 y轴------虚轴 （数） （形） ------复数平面 (简称复平面) 一一对应 z=a+bi 概念辨析 例题 复数z=a+bi 有序实数对(a,b) 直角坐标系中的点Z(a,b) x y o b a Z(a,b) 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面 x轴------实轴 y轴------虚轴 （数） （形） ------复数平面 (简称复平面) 一一对应 z=a+bi 概念辨析 例题 实数绝对值的几何意义: 能否把绝对值概念推广到复数范围呢？ X O A a | a | = | OA | 实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离。 x O z=a+bi y | z | = |OZ| 复数的绝对值 复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。 (复数的模) 的几何意义: Z (a,b) 例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (3)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？ 思考： (2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0) (1)复数的模能否比较大小？ 这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？ 图示 课堂小结： 一. 数学知识： 二. 数学思想： (1)复数相等 (2)复平面 (3)复数的模 (3)类比思想 (2)数形结合思想 (1)转化思想 课题：复数的有关概念 (A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。 辨析： 1．下列命题中的假命题是（ ） D 2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 C 例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 表示复数的点所在象限的问题 复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题 转化 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想 例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 变式：证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。 不等式解集为空集 所以复数所对应的点不可能位于第四象限. x y O 设z=x+yi(x,y∈R) 满足|z|=5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？ 5 5 –5 –5 练习：P150 练习 作业：P150 3 4 北京大峪中学高三数学组 * 复数的概念 第四章 数系的扩充___复数 4.1 复数的概念 教学目的： 1.了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i 2.理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律 3.理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 4.理解并掌握复数相等的有关概念 教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用 教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念 是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的. 在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立 授课类型：新授课 一. 复数的概念 数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大和充实，从自然数集、整数集、有理数集到实数集的每一次扩充，推动了生产的进一步发展，也使数的理论逐步深化和发展，复数最初是由于解方程的需要产生的，后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展。 我们知道，对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2－4ac<0时，没有实数根。那么我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题可以得到圆满的解决呢？ 回答是肯定的。实际上最根本的问题就是要解决1的开平方问题，即怎样的一个数，它的平方会等于－1。 现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： （1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。 这样就解决了前面所提出的问题，即1可以开平方，且－1的平方根为i. 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 二.复数集 复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位， 当b=0时，a+bi就是实数， 当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为纯虚数。 全体复数所成的集合叫做复数集. 这样实数集就是复数集的一个子集。