Question

数学不等式最值

a>b>0,求a^2+16/(ab-b^2)的最小值？具体过程

Answer 1

答案:最小值16.
a^2+16/(ab-b^2)>=2*a*4/√(ab-b^2)
=8a/√(ab-b^2)=8√((b/a)-(b/a)^2)
设x=b/a,则由a>b>0得0<x<1,
(b/a)-(b/a)^2=x-x^2,2次函数x-x^2在x=1/2取得最大值,即b/a=1/2,a=2b时(b/a)-(b/a)^2最大,故2*a*4/√(ab-b^2)
取得最小值
8√((1/2)-(1/2)^2)=16,另一方面,此时a=4,b=2使得a=4/√(ab-b^2),a^2+16/(ab-b^2)>=2*a*4/√(ab-b^2)
的等号也成立,于是该最小值也是a^2+16/(ab-b^2)的最小值.