Question

一道高数题求助追加50分

求解这道题

Answer 1

利用极值点的本质属性来理解。

详情如图所示:

供参考，请笑纳。

注意:只在连续函数的情况下有效。

Answer 2

用定义求：
f'(x) = lim{x->0} [x^3 sin(1/x) - 0]/x
= lim{x->0} x^2 sin(1/x)
= 0
f''(x) = lim{x->0} [f'(x) - 0]/x
= lim{x->0} [3x^2 sin(1/x) - xsin(1/x)]/x
= lim{x->0} -sin(1/x) 可正，可负
因为二阶导不存在，所以
故只好用 first derivative test来做。因为 x->0 时，sin(1/x) 是+1与-1之间变化不定，所以x=0处不为极值点。

Answer 3

x=0处是极值点，且可以明确知道是极小值点。

分析如下：对于x=0附近的去心邻域，设其为（-δ，0）U（0，δ），其中δ＞0。
那么可以分别讨论x∈（-δ，0）和x∈（0，δ）时，f（x）与f（0）=0的大小关系，看看是否满足极值点的定义即可。
①当x∈（-δ，0）时，f（x）=x³sin（1/x），此时x³＜0，sin（1/x）由于1/x＜0而＜0，所以f（x）＞0=f（0）。
②当x∈（0，δ）时，f（x）=x³sin（1/x），此时x³＞0，sin（1/x）由于1/x＞0而＞0，所以f（x）＞0=f（0）。
综上所述，当x处于x=0的去心邻域时，都有f（x）＞f（0），所以f（0）是f（x）的一个极小值点。【可以自行百度一下极值点的定义就明白了】