Question

已知四边形ABCD是矩形，PA垂直平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点，求证MN垂直于AB，若PD=2a,PB=3a，求三棱锥D-

AMN的体积

Answer 1

连结BD、AC，相交于O，连结ON、OM，

∵BD∩AC=O，四边形ABCD是矩形，

∴AO=CO，

∵N是PC中点，

∴ON是△PAC的中位线，

∴ON//PA，

∵PA⊥平面ABCD，

∴ON⊥平面ABCD，

∴OM是MN在平面ABCD上的射影，

∵BD=AC，（矩形对角线相等），

∴BD/2=AC/2，

∴AO=BO，

∵M是AB的中点，

∴根据等腰△三线合一，OM⊥AB，

∴根据三垂线定理，MN⊥AB。

2、缺一个条件，是PA=a吗？

若是，解答如下：

∵PA⊥平面ABCD，

AB，AD∈平面ABCD，

∴PA⊥AB，PA⊥AD，

∴根据勾股定理，

AB=2√2a,AD=√3 a.

ON=PA/2=a/2,

S△AMD=（1/2）S△ABD=（1/4）S矩形ABCD=（2√2a*√3a）/4=√6a^2/2,

VD-AMN=VN-AMD=ON*S△AMD/3=(a/2)*(√6a^2/2)/3=√6a^3/12.

∴三棱锥D-AMN=√6a^3/12. 

稍等，正上传图。。。。

Answer 2

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