Question

正定矩阵一定是实对称矩阵吗?

Answer 1

不一定是对称的。

正定矩阵在实数域上是对称矩阵。在复数域上是厄米特矩阵（共轭对称）。

因为正定矩阵在定义的时候就是要在厄米特矩阵的域内（实数域上是对称矩阵）。如果只是要求矩阵M有（x^T)Mx>0,那么任何矩阵M，只要其满足A=(M+M^T）／2，且（x^T)Ax>0,即可。例如，M=，A=。但如果M不是厄米特矩阵，一般不讨论他的正定性。

正定矩阵有以下性质：

（1）正定矩阵的行列式恒为正；

（2）实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；

（3）若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；

（4）两个正定矩阵的和是正定矩阵；

（5）正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

Answer 2

是实对称矩阵，详情如图所示