Question

已知Z+1/Z=2cosθ求证Z^m+1/Z^m=2cosmθ证明过程中有Z^2-2(cosθ)z+1=0，∴Z=cosθ±isinθ=e^(±iθ)？

由Z+1/Z=2cosθ，有Z^2-2(cosθ)z+1=0， 这里是如何计算或推导出 ∴Z=cosθ±isinθ=e^(±iθ)【欧拉公式，i^2=-1】。

后面的我明白
∴Z^m=e^(±imθ)=cosmθ±isinmθ。显然，不论取“+”或者“”-”号时，均有Z^m+1/Z^m=2cosmθ成立。

Answer 1

Z²-(2cosθ)Z+1=0，是关于Z的一元二次方程。其判别式△=b²-4ac=(2cosθ)²-4=-4(sinθ)²=(2isinθ)²。
∴由一元二次方程的求根公式，有Z=cosθ±isinθ=e^(±iθ)。
供参考。

Answer 2

Z²-2(cosθ)z+1=0
=>Z²-2(cosθ)z+cos²θ-cos²θ+1=0
=>(Z-cosθ)²+(1-cos²θ)=0
=>(Z-cosθ)²+sin²θ=0
=>(Z-cosθ)²=-sin²θ
=>Z-cosθ=±isinθ
=>Z=cosθ±isinθ